Question

设随机变量X服从几何分布，其分布律为P{X=k}=p(1-p)^(k-1),k=1,2,3,…,其

设随机变量X服从几何分布，其分布律为P{X=k}=p(1-p)^(k-1),k=1,2,3,…,其中0<p<1是常数，求期望E(x),方差D(x)?

Answer 1

概率为p的事件A，以X记A首次发生所进行的试验次数，则X的分布列：

，

具有这种分布列的随机变量X，称为服从参数p的几何分布，记为X~Geo(p)。

几何分布的期望

，

方差

。

追问

结果我知道，要的是求导过程

不管怎么说谢谢啊

追答

你百度一下几何分布的期望方差，第一个就是证明过程，相当繁琐，字母太多，我不打了，你自己看吧！

追问

好的，谢谢啊！

追答

证明要是看懂了就采纳吧，看不懂就算了！

追问

可是你这个右上角没有满意两个字啊

追答

那就算了！弄懂为主要的！

追问

嗯嗯，很感谢你们

Answer 2

下面的计算利用幂级数展开式(通过1/(1-x)=∑{k,0,∞}x^k，x∈(-1,1)容易证明) ：
1/(1-x)²=1+2x+3x²+4x³+…=∑{k,0,∞}(k+1)*x^k，x∈(-1,1) ①

注意到0<1-p<1
E(X)=∑{k,1,∞}k*p*(1-p)^(k-1)
=p*∑{k,0,∞}(k+1)*(1-p)^k
=p*1/[1-(1-p)]² 由①
=1/p

为计算D(X)，可先求出幂级数∑{k,0,∞}(k+1)²*x^k，x∈(-1,1)的和函数
令S(x)=∑{k,0,∞}(k+1)²*x^k，x∈(-1,1)，则
∫{0,x}S(x)dx=∫{0,x}[∑{k,0,∞}(k+1)²*x^k]dx
=∑{k,0,∞}∫{0,x} [(k+1)²*x^k]dx
=∑{k,0,∞}(k+1)*x^(k+1)
=x*∑{k,0,∞}(k+1)*x^k
=x*1/(1-x)² 由①
S(x)=[ x/(1-x)²]'=(1+x)/(1-x)³，即
∑{k,0,∞}(k+1)²*x^k=(1+x)/(1-x)³，x∈(-1,1) ②

∵E(X²)=∑{k,1,∞}k²*p*(1-p)^(k-1)
=p*∑{k,0,∞}(k+1)²*(1-p)^k
=p*[1+(1-p)]/[1-(1-p)]³ 由②
=(2-p)/p²

∴D(X)= E(X²)-[E(X)]²
=(2-p)/p²-1/p²
=(1-p)/p²