Question

两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做同方向的匀速圆周运动，地球半径为R，卫星a离地面的高度等于R，卫星b

两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做同方向的匀速圆周运动，地球半径为R，卫星a离地面的高度等于R，卫星b离地面的高度为3R，则
（1）a、b两卫星周期之比Ta∶Tb是多少？
（2）若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方，则a至少经过多少个周期两卫星相距最远？

Answer 1

设卫星a 质量为m1,向心加速度a1,角速度ω1，轨道半径=R+R=2R，地球质量为M,万有引力常量G,
设卫星b 质量为m2,向心加速度a2,角速度ω2，轨道半径=R+3R=4R，m1a1=Gm1M/(4R)^2,
（ω1）＾2＊（2R）＝MG/(2R)^2,
（ω2）＾2＊（4R）＝MG/(4R)^2,
（ω1）＾2/（ω2）＾2=(4R)^3/(2R)^3,
Ta=2π/ω1，Tb=2π/ω2，Ta/Tb=ω2/ω1=1/（2√2），
ω1/ω2=2√2,ω1=2√2ω2,二角速度差为ω1-ω1/2√2
当二卫星相差180度时相距最远,设从同一相位开始到相隔180度所需时间为t,
(ω1-ω1/2√2)*t=π,t=π/[ω1(1-1/2√2)],
卫星a绕地球周期为T1,T1=2π/ω1,
t/T1=π/[ω1(1-1/2√2)]/(2π/ω1)=（4+√2）/7
a卫星至少经过（4+√2）/7个周期后二卫星相距最远．
以上为二卫星同方向时的情况，若是相反方向时则不然。
(ω1+ω1/2√2)*t=π,t=π/[ω1(1+1/2√2)],
卫星a绕地球周期为T1,T1=2π/ω1
t/T1=π/[ω1(1+1/2√2)]/(2π/ω1)=（4-√2）/7
二卫星在反向运行时，a卫星至少经过（4-√2）/7个周期后二卫星相距最远