Question

已知抛物线y=1/2x^2-3/2x-1,设m,n是抛物线在x轴上方的两点,且到x轴距离均为1,

x轴下方是否存在抛物线上一点P,使角MPN=90度,若存在,求出点P的坐标

Answer 1

解：

依题意，当y=1时，y=1/2x^2-3/2x-1=1，

整理1/2x^2-3/2x-2=0，

x²-3x-4=0，

(x+1)(x-4)=0

解得x1=-1,x2=4

所以M,N坐标为（-1,0），（4,0），MN=5

设MN交y轴于点B,抛物线交y轴于点P,

当x=0时，y=1/2x^2-3/2x-1=-1，即P(0,-1)

在直角三角形BMP中，MB=1,BP=2,

在直角三角形BNP中，BN=4，

所以BM/BP=BP/BN

又∠MBP=∠NBP=90

所以△MBP∽△PBN

所以∠BMP=∠BPN,

因为∠BMP+∠MPB=90，

所以∠MPB+∠BPN=90

即∠MPN=90

此时P(0，-1),P点关于对称轴x=3/2的对称点（3，-1）也符合要求

由上可知，符合条件的P点为（0,-1）和（3，-1）

Answer 2

由(1/2)x^2-(3/2)x-1=1,得
x^2-3x-4=0,
解得x=-1或4，
∴M(-1，1),N(4，1).
设P(p,(1/2)p^2-3p/2-1),(1/2)p^2-3p/2-1<0,①
由∠MPN=90°得PM^2+PN^2=MN^2,
∴(p+1)^2+2[(1/2)p^2-3p/2-2]^2+(p-4)^2=25,
∴(1/2)(p^2-3p-4)^2+2p^2-6p-8=0,
∴(p^2-3p-4)(p^2-3p)=0,
由①，p^2-3p<2,
∴p^2-3p=0,
解得p=0或3，
∴P的坐标是(0,-1),或(3,-1).