Question

向量场A=yzi+xzj+yzk的图像能画出来吗

是什么样的呢

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Answer 1

首先了解一下什么是矢量线

对于矢量（向量）场F,可用一些有向曲线来形象地描述矢量在空间的分布，这些有向曲线称为矢量线。在矢量线上，任意一点的切线方向都与该点的场矢量方向相同。

设矢量(向量)场为F(x,y,z)=f(x,y,z)i+g(x,y,z)j+h(x,y,z)k,点M(x,y,z)是场中的矢量线上的任意一点,其对应的矢径(原点到M的向量)为r=xi+yj+zk,其微分矢量为dr=dxi+dyj+dzk,由矢量线的定义可知,在点M处,dr与F共线,即dr//F,于是可得矢量线的微分方程组:dx/f=dy/g=dz/h,解此微分方程组，即可得矢量线方程，从而绘制出矢量线。

由题意列矢量线的微分方程组:
dx/yz=dy/xz
dx/yz=dz/yz
解得:
x^2=y^2+c
x=z+d（c,d为任意常熟)
这就是向量场A的图像对应的方程组,大致为在空间内的双曲线。

追问

这个微分方程怎么解

追答

dx/yz=dy/xz
消去y得:
xdx=ydy
两边积分得:
∫xdx=∫ydy
解得:
(1/2)x^2=(1/2)y^2+t(t为任意常数)
化简:
x^2=y^2+2t=y^2+c

dx/yz=dz/yz
dx=dz
两边积分得x=z+d