Question

已知函数y=fx是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,fx=2x-x² 。

已知函数y=fx是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,fx=2x-x² 。问是否存在这样的正数a,b。当x∈[a,b]时，fx的值域为[1/b,1/a]？若存在，求出所有的a,b的值；若不存在，请说明理由。求详解，谢谢。

Answer 1

x>=0时，f(x)=-(x-1)^2+1=x(2-x)
因为值域[1/b,1/a]在正数区间，所以有0<x<2
因为f(x)<=1, 所以有1/a<=1,得：a>=1
因此在[a,b]区间，函数单调减，有f(a)=1/a, f(b)=1/b
即a,b为方程2t-t^2=1/t的两个根
t^3-2t^2+1=0
t^3-t^2-t^2+1=0
t^2(t-1)-(t-1)(t+1)=0
(t-1)(t^2-t-1)=0
得t=1,(1±√5)/2
因此只能选a=1, b=(1+√5)/2, 满足题意。