Question

线性代数两个问题。 1，命题，A的平方是0矩阵，则A的所有特征值为0。 判断，并证明。 2，证明图

线性代数两个问题。
1，命题，A的平方是0矩阵，则A的所有特征值为0。 判断，并证明。
2，证明图片中的等式。

Answer 1

1. 正确.
有基本结论: 若λ是A的特征值, 则f(λ)是f(A)的特征值.
其中f可以是任意多项式.
实际上由AX = λX易得f(A)X = f(λ)X.

对于这道题, 取f(x) = x^2.
可知若A有非零特征值, 则A^2也有非零特征值, 与A^2 = 0矛盾.
因此A的特征值只有0.

2. A*的i行j列的元素为A的j行i列的代数余子式Aji.
因此(A*)'的i行j列元素为Aij.
(A')*的i行j列的元素为A'的j行i列的代数余子式A'ji,
与Aij恰为转置关系, 而行列式转置不变, 故A'ji = Aij.
故(A*)' = (A')*.

Answer 2

不会

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。。。。

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