Question

已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交与点O，E是BD延长线上的一点，且三角形ACE是等边三角形。

（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图（2），若∠AED=2∠EAD，AC=6，求DE的长。
急，在线等。。。

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，
∵△ACE是等边三角形．
∴OE⊥AC，
∴BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵△ACE是等边三角形，OE⊥AC，
∴∠AEO=1/2∠AEC=30°
∵∠AED=2∠EAD，
∴∠EAD=15°
∴∠ADB=45°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC，BD⊥AC，
∴∠CDB=∠ADB=45°
∴∠ADC=90°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴OA=OC=OD=1/2AC=3
∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAO=60°
在Rt△AOE中，OE=OAtan60°=3根号3
∴DE=OE-OD=3根号3-3

Answer 2

证明：
（1）
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=OC
∵△ACE是等边三角形
∴EO⊥AC
∴BD⊥AC
∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
（2）
∵△ACE是等边三角形，O是AC中点
∴∠AEC=30°
∵∠AED=2∠EAD
∴∠EAD=15°
∴∠ADB=30°+15°=45°
同理可得∠CDB=45°
∴∠ADC=90°
∵四边形ABCD是菱形
∴四边形ABCD是正方形
请采纳。

Answer 3

证明：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=OC
∵△ACE是等边三角形
∴EO⊥AC
∴BD⊥AC
∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）

Answer 4

AE = EC
AO = OC
EO 共线
△AOE ≌ △COE
∠AOE = ∠COE = 90°

于是 Rt△AOD ≌ △COD
AD = CD
四边形ABCD是菱形。

（2）∠AED=2∠EAD = 30°
∠EAD = 15°
∠OAD = 45°
AC= 6
OD = AO = 3
OE = √3 * AO = 3√3
DE = OE- OD = 3√3 - 3 = 3(√3-1)