Question

已知函数f(x)=1/3*x^3+[(1-a)/2]*x^2-ax-a。（a＞0）

已知函数f(x)=1/3*x^3+[(1-a)/2]*x^2-ax-a，a>0.
（2）当a=1时，求函数f（x）在区间［t，t+3］上的最小值！

Answer 1

a=1,f(x)=1/3x^3-x-1
f'(x)=x^2-1=(x+1)(x-1)
得极值点x=-1, 1
其中x=1为极小值点， 当x>1或x<-1时为单调增，在-1<x<1时单调减。
讨论t:
当t>1时，函数在[t,t+3]单调增，最小值为f(t)=1/3t^3-t-1
当t<-2时，函数在[t,t+3]没极小值，比较端点：f(t+3)-f(t)=3t^2+9t+8=3(t+3/2)^2+5/4>0, 因此最小值为f(t)=1/3t^3-t-1.
当-2=<t<=1时，极小值f(1)=-5/3, 而f(-2)=-5/3, 在[-2,4]区间上的最小值为f(1)=-5/3, 故在[t,t+3]的最小值也为-5/3.