Question

解不等式2ax方+(1+2a)x-1≥0

Answer 1

解不等式2ax²+(1+2a)x-1≥0
解：①当a>0时，y=2ax²+(1+2a)x-1的图像是一条开口朝上的抛物线；
由于其判别式Δ=(1+2a)²+8a=4a²+12a+1>0对任何a>0都成立，故原不等式的
解为：x≦[-(1+2a)-√(4a²+12a+1)]/(4a)；或x≧[-(1+2a)+√(4a²+12a+1)]/(4a)；
②当a=0时原不等式变为x-1≥0，此时解为x≥1；
③当a<0时，y=2ax²+(1+2a)x-1的图像是一条开口朝下的抛物线；
当其判别式Δ=4a²+12a+1=4(a²+3a)+1=4[(a+3/2)²-9/4]+1=4(a+3/2)²-8<0，
(a+3/2)²<2，即-(3/2)-√2<a<-(3/2)+√2时原不等式无解；
当其判别式Δ=4(a+3/2)²-8>0，(a+3/2)²>2，即a<-(3/2)-√2或-(3/2)+√2<a<0时
原不等式的解为[-(1+2a)-√(4a²+12a+1)]/(4a)<x<[-(1+2a)+√(4a²+12a+1)]/(4a);
当其判别式Δ=4(a+3/2)²-8=0，即a=-(3/2)±√2时，原不等式的解为:
x=[-(1+2a)]/(4a)；