Question

概率论中正态分布证明两者独立的问题

考研数学全书2015年595页解析中 有这么一段推论：

设随机变量X Y 相互独立同分布且服从正态分布，U=X-Y,V=X+Y
那么U和V相互独立
请问是怎么证明的？用到了什么定理？请详细说明。

Answer 1

U，V都是正态分布，正态分布有个很特殊的性质：正态分布不相关，则独立。
所以只需证：Cov(U, V) = 0

Cov(U,V) = Cov(X+Y, X-Y)
= Cov(X, X) - Cov(X, Y) + Cov(Y, X) - Cov(Y, Y)
因为 X，Y 独立同分布，所以：Cov(X, X) = Cov(Y, Y)，Cov(X, Y) = Cov(Y, X)
所以，Cov(U, V) = 0

追问

书上说 正态分布不相关与独立充要 是在UV服从二元正态分布的前提下 这里面UV还没有说服从二元正态分布 我就这一点弄不明白

追答

所谓二元分布，就是指2个分布。
二元正态分布，就是指2个正态分布。
U，V为2个正态分布，所以它们的联合起来就是二元正态分布。

书上可能把二元正态分布写成(U,V)的样子，只是为了方便表达。
如果我们也想这么写，可以在开头加上一句：
因为U，V都是正态分布，所以考察二元正态分布(U,V)

Answer 2

利用卡方检验吧。Chi-Squared Test。

追问

没学过不会用

没学过不会用