Question

证明f(x)=1/x (0<x<1)为无界函数

设M>1 ，t=1/M ，则f(t)=M。根据定义|f(x)|>=M则有界，那么现在0<f(t)=M了，这个理解？
这个怎么理解？

Answer 1

有界函数的定义应该是|f（x）|=<M，对于任意的x，存在常数M
如果你用反证法，
假设函数有界，则存在M>0，使所有的x满足上述条件，|f（x）|<M ,x在（0，1）
考虑x=1/（M+1），在（0.1）
f（1/（M+1）=M+1>M, 矛盾
因此，不存在常数M，函数为无界函数

追问

我不是问怎么证明，请看我的描述。
设M>1 ，t=1/M ，则f(t)=M。
即：0=M则有界，那么现在|f(t)|=M。这样看f(x)是有界的。
这个怎么理解？

追答

你对于有界函数的定义是错误的，
是小于等于M，对于任意的t（在定义的区间内）而不是你说的大于等于M，
再次重申一遍，有界的定义是|f（t）|=<M
而且就你的描述，充其量也是t=I/M的时候是符合条件的，但是有界的概念是对于所有的t
对于1/（M+!)就不成立

更加直观的描述，在（0，1）上，f(t)=t 是有界的，因为 |f（t）|=<1
那么如果把t的定义域放大到（-2，2），函数仍是有界，但是此时的M为2，3，4，5.。。均可
2是其中最小的界限值。
但是（0，1）上，f（t）=1/t为无界函数，因为y的值域为（1，正无穷），没有一个常数M可以使不等式成立