Question

微积分求无穷大和无穷小的问题

f(x)= px²-2/x²+1 + 3qx+5，当 x -> 无穷大时，p,q,取何值f(x)为无穷小，

Answer 1

f(x)= (px²-2)/(x²+1) + 3qx+5，当 x -> 无穷大时，p,q,取何值f(x)为无穷小

解：只有p=-5，q=0时才可能使f(x)在x→∞是成为无穷小。
因为此时x→∞limf(x)=x→∞lim[(-5x²-2)/(x²+1)+5]=x→∞lim[-5-(2/x²)]/[1+(1/x²)]+5=-5+5=0.

追问

您是怎么知道pq的值的？

追答

因为x→∞时f(x)→0；如果p≠-5，q≠0，那么x→∞时f(x)↛0。
至于是怎么知道的？通过观察和分析得出的。

追问

有一部是要把p给脱离出来吧，p-p+2/x²+1 +3qx+5,这样好像才能看出来吧，你不把p的x²给设法消去，怎么能分析x->0时候的极限呢 ，通过看就能看出，还是你在心里面已经有了p-p+2/x²+1 +3qx+5？

追答

不是你说的那样“把p脱出来”，而是这样的：
f(x)= (px²-2)/(x²+1) + 3qx+5=[p-(2/x²)]/[1+(1/x²)]+3qx+5
将(px²-2)/(x²+1) 的分子分母同除以x²即得[p-(2/x²)]/[1+(1/x²)]；
当x→∞时[p-(2/x²)]/[1+(1/x²)]→p；而3qx→∞；3qx+5→∞；
为了使(px²-2)/(x²+1) + 3qx+5→0，自然就会想到p=-5，q=0.
只有如此，才能有：
x→∞limf(x)=x→∞lim[(-5x²-2)/(x²+1)+5]
=x→∞lim[-5-(2/x²)]/[1+(1/x²)]+5=-5+5=0.