Question

如图,等边三角形ABC的边长为3,P为BC边上的一点,且BP=1,D为AC上的一点,若∠APD=60度,则CD的长为

（用初二下册所学内容解）不用到相似三角形

Answer 1

第一个问题：
∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，又AB＝3、BP＝1，
∴由余弦定理，有：AP^2＝AB^2＋BP^2－2AB×BPcos∠B＝9＋1－2×3×1×cos60°＝7，
∴AP＝√7。

∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝AB＝3，∴CP＝BC－BP＝3－1＝2。
由余弦定理，有：CP^2＝AP^2＋AC^2－2AP×ACcos∠CAP，
∴4＝7＋9－2×√7×3cos∠CAP，∴6√7cos∠CAP＝12，∴cos∠CAP＝2/√7。
∴sin∠CAP＝√［1－（cos∠CAP）^2］＝√（1－4/7）＝√3/√7。

又∠APD＝60°。
∴sin∠ADP
＝sin（180°－∠APD－∠CAP）＝sin（∠APD＋∠CAP）＝sin（60°＋∠CAP）
＝sin60°cos∠CAP＋cos60°sin∠CAP＝（√3/2）×（2/√7）＋（1/2）×（√3/√7）＝3√3/（2√7）。

由正弦定理，有：AD/sin∠APD＝AP/sin∠ADP，
∴AD＝APsin∠APD/sin∠ADP＝√7sin60°/［3√3/（2√7）］＝7/3，
∴CD＝AC－AD＝3－7/3＝2/3。

第二个问题：
∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，∴sin∠C＝√3/2。
S(△PDC)＝（1/2）CP×CDsin∠C＝（1/2）×2×（2/3）×（√3/2）＝√3/3。

追问

初二没有学到正弦定理把

Answer 2

为什么不用相似

是寻求另一个方法？

Answer 3

pc=3-1=2
ab:pc=bp:cd
因为∠bap+∠apb=180°-∠b
=180°-60°
∠dpc+∠apc=180°-∠apd=180°-60°
所以∠bap=∠dpc
又因为∠b=∠c
所以△abp∽△pcd
ab:pc=bp:cd
=ap：pd
ab=bc=ac
所以pc=3-1=2
所以cd=2/3