Question

线性代数，如图，正交阵的判断，求详细过程，附图！谢谢！

Answer 1

A 不是正交矩阵，第 1, 3 列对应分量的乘积之和1/√3×1/√2+1/√3×0+1/√3×1/√2=2/√6≠0,故第 1, 3 列不正交，同理，第 2, 3 列也不正交。
理论：
（1）判断两列是否正交，就是看它们的对应分量的乘积之和是否为0，等于0则正交，不等于0则不正交。
（2）判断某列是否为单位向量，就是看它自身的对应分量的乘积之和是否为1，等于1则为单位向量，不等于1则不是单位向量。
（3）矩阵为正交矩阵，必须满足：所有各列向量都是单位向量，且任意两不同列向量都是正交的。
上述矩阵第 1, 3 列，第 2, 3 列都不正交，故不是正交矩阵。

Answer 2

A 不是正交矩阵，第 1, 3 列，第 2, 3 列都不正交

追问

我想知道列向量都是单位向量以及两两正交的具体计算过程，麻烦附图详解下，我已增加悬赏，谢谢！

追答

用施密特正交化方法，教材上都有具体方法和例题
(有的不给出人名，但方法会给出)，
简单阐述一下：
向量要先正交化，再单位化。
例如，有3个线性无关的向量 a1, a2, a3,
目标是正交化为 向量 b1, b2, b3.
先取 b1=a1, 设 b2=kb1+a2, 由 b2与b1正交，得
(b1)^T(b2)= k(b1)^T(b1)+(b1)^T(a2)=0,
k=-(b1)^T(a2)/[(b1)^T(b1)], 即可确定 b2.
类似地，再设 b3=k1b1+k2b2+a3, 由 b3与b1正交，b3与b2正交，得
(b1)^T(b3)= k1(b1)^T(b1)+k2(b1)^T(b2)+(b1)^T(a3)=0,
(b2)^T(b3)= k1(b2)^T(b1)+k2(b2)^T(b2)+(b2)^T(a3)=0,
注意 (b1)^T(b2)=0，(b2)^T(b1)=0， 得
k1=-(b1)^T(a3)/[(b1)^T(b1)], k2=-(b2)^T(a3)/[(b2)^T(b2)],
即可确定 b3.
然后将 b1, b2, b3 单位化为 b1/|b1|, b2/|b2|, b3/ |b3|,