Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：①当x＞0时，f（x）＞1，②?x、y∈R，f（x+y）=f（x） f（y）．数列{a n

已知定义在R上的函数f（x）满足：①当x＞0时，f（x）＞1，②?x、y∈R，f（x+y）=f（x） f（y）．数列{a n }满足①a 1 =1，②f（a n+1 ）=f（a n ） f（1），（n∈N * ）， T n =- a 1 2 + a 2 2 - a 3 2 + …+（-1） n a 2n ，则T 100 等于（　　） A．4900 B．-4900 C．5050 D．-5050

Answer 1

对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）?f（y）， 可令x=1，y=0 可得 f（0+1）=f（0）．f（1） 因为x＞0时，有0＜f（x）＜1，故f（1）＞0 所以 f（0）=1 再取x=-y，可得f（0）=f（-y+y）=f（-y）?f（y）=1 所以f（-y）= 1 f(y) ，同理以f（-x）= 1 f(x) 当x＜0时，-x＞0，根据已知条件得f（-x）＞1，即 1 f(x) ＞1， 变形得0＜f（x）＜1． 综上所述任意x∈R，f（x）＞0． 设任意的x 1 ，x 2 ∈R，且x 1 ＜x 2 ，则x 2 -x 1 ＞0，f（x 2 -x 1 ）=f（x 2 ）f（-x 1 ）= f( x 2 ) f( x 1 ) ＞1，f（x 2 ）＞f（x 1 ） 所以函数f（x）在R上是单调递增函数． f（a n+1 ）=f（a n ） f（1）=f（a n +1），所以a n+1 =a n +1，数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，通项公式为a n =n． T 100 =(- 1 2 + 2 2 )+(- 3 2 + 4 2 ) +…(- 99 2 + 100 2 ) =3+7+…+199= (3+199)×50 2 =5050． 故选C．