Question

已知函数f（x）=log a 1-mx x-1 在定义域D上是奇函数，（其中a＞0且a≠1）．（1）求出m的值

已知函数f（x）=log a 1-mx x-1 在定义域D上是奇函数，（其中a＞0且a≠1）．（1）求出m的值，并求出定义域D；（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明；（3）当x∈（r，a-2）时，f（x）的值的范围恰为（1，+∞），求a及r的值．

Answer 1

（1）因为f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x）， 所以log a 1-mx x-1 =log a -x-1 1+mx ，…（2分） 即1-m 2 x 2 =1-x 2 对一切x∈D都成立，…（3分） 所以m 2 =1，m=±1，…（4分） 由于 1-mx x-1 ＞0，所以m=-1…（5分） 所以f（x）=log a 1+x x-1 ，D=（-∞，-1）∪（1，+∞）…（6分） （2）当a＞1时，f（x）=log a 1+x x-1 ，任取x 1 ，x 2 ∈（1，+∞），x 1 ＜x 2 ，…（7分） 则f（x 1 ）-f（x 2 ）=log a 1+ x 1 x 1 -1 -log a 1+ x 2 x 2 -1 =log a （ 2 x 1 -1 +1）-log a （ 2 x 2 -1 +1）…（9分） 由于x 1 ，x 2 ∈（1，+∞），x 1 ＜x 2 ，所以 2 x 1 -1 +1＞ 2 x 2 -1 +1，得f（x 1 ）＞f（x 2 ），…（10分） 【注】只要写出x 1 ，x 2 ∈（1，+∞），x 1 ＜x 2 ，f（x 1 ）-f（x 2 ）=…=…，得出f（x 1 ）＞f（x 2 ）即可． 即f（x）在（1，+∞）上单调递减…（11分） 同理可得，当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上单调递增 …（13分） （3）因为x∈（r，a-2），定义域D=（-∞，-1）∪（1，+∞）， 1°当r≥1时，则1≤r＜a-2，即a＞3，…（14分） 所以f（x）在（r，a-2）上为减函数，值域恰为（1，+∞），所以f（a-2）=1，…（15分） 即log a 1+a-2 a-2-1 =log a a-1 a-3 =1，即 a-1 a-3 =a，…（16分） 所以a=2+ 3 且r=1 …（18分） 2°当r＜1时，则（r，a-2）?（-∞，-1），所以0＜a＜1 因为f（x）在（r，a-2）上为增函数， 所以f（r）=1，a-2=-1， 解得a=1与a＞0且a≠1矛盾（舍） …（20分）