Question

如图，已知△ABC，∠ACB=90° ，AC=BC，点E、 F在AB上，∠ECF=45° ，　（1）求证：△ACF∽△BEC 　　（2

如图，已知△ABC，∠ACB=90° ，AC=BC，点E、 F在AB上，∠ECF=45° ，　（1）求证：△ACF∽△BEC 　　（2）设△ABC的面积为S，求证：AF·BE=2S

Answer 1

证明：（1） ∵ AC=BC， ∴ ∠A = ∠B 　　　　 ∵ ∠ACB=90° ， ∴ ∠A = ∠B = 45°  ， ∵ ∠ECF= 45° ， ∴ ∠ECF = ∠B = 45° ，　　 ∴ ∠ECF+∠1 = ∠B+∠1 　　 ∵ ∠BCE = ∠ECF+∠1，∠2 = ∠B+∠1；　　 ∴ ∠BCE = ∠2，　　 ∵ ∠A = ∠B ，AC=BC，　　 ∴ △ACF∽△BEC。　　　　　　　　　　　　　　　 　（2）∵△ACF∽△BEC ∴ AC = BE，BC = AF，　　 ∴△ABC的面积： S = AC·BC = BE·AF　 ∴AF·BE=2S。