设f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（0）=2，f（1）=0．求证：存在0＜η＜ξ＜1，使得f′（
设f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（0）=2，f（1）=0．求证：存在0＜η＜ξ＜1，使得f′（η）f′（ξ）=4．...
设f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（0）=2，f（1）=0．求证：存在0＜η＜ξ＜1，使得f′（η）f′（ξ）=4．
展开
1个回答
展开全部
证明：由于g（x）=f（x）-2x在[0，1]上连续，且g（0）=2，g（1）=-2，
故由有界闭区间上连续函数的性质可知存在ξ∈（0，1），使得g（ξ）=0，即f（ξ）=2ξ成立，
对此ξ，分别在区间[0，ξ]与[ξ，1]上对f（x）用拉格朗日中值定理知，
存在η∈（0，ξ），ζ∈（ξ，1），使得：
f′(η)＝
＝
＝2
，f′(ζ)＝
＝
＝2
，
即存在0＜η＜ζ＜1，使得：
f′(η)f′(ξ)＝
?
＝4．
故由有界闭区间上连续函数的性质可知存在ξ∈（0，1），使得g（ξ）=0，即f（ξ）=2ξ成立，
对此ξ，分别在区间[0，ξ]与[ξ，1]上对f（x）用拉格朗日中值定理知，
存在η∈（0，ξ），ζ∈（ξ，1），使得：
f′(η)＝
| f(ξ)?f(0) |
| ξ?0 |
| 2ξ?2 |
| ξ |
| ξ?1 |
| ξ |
| f(1)?f(ξ) |
| 1?ξ |
| ?2ξ |
| 1?ξ |
| ξ |
| ξ?1 |
即存在0＜η＜ζ＜1，使得：
f′(η)f′(ξ)＝
| 2(ξ?1) |
| ξ |
| 2ξ |
| ξ?1 |
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
