Question

已知关于x的一元二次方程x2+（4-m）x+1-m=0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（

已知关于x的一元二次方程x2+（4-m）x+1-m=0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）此方程有一个根是-3，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2+（4-m）x+1-m向右平移3个单位，得到一个新的抛物线，当直线y=x+b与这个新抛物线有且只有一个公共点时，求b的值．

Answer 1

解答：（1）证明：∵△=（4-m）²-4（1-m）
=m²-4m+12
=（m-2）²+8，
∴△＞0，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．

（2）把x=-3代入x²+（4-m）x+1-m=0，
得：9-3（4-m）+1-m=0，
解得m=1，
∴y=x²+3x．
即y=（x+

3

2

）²-

9

4

．
依题意，可知新的抛物线的解析式为y′=（x-

3

2

）²-

9

4

．
即y'=x²-3x，
∵抛物线y'与直线y=x+b只有一个公共点，
∴x²-3x=x+b，
即x²-4x-b=0．
∵△=0．
∴（-4）²-4×（-b）=0．
解得：b=-4．