Question

已知函数f（x）=x 2 -2ax+b，a，b∈R．（1）若a从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，b从集合{0，1，2}中任

已知函数f（x）=x 2 -2ax+b，a，b∈R．（1）若a从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，b从集合{0，1，2}中任取一个元素，求方程f（x）=0有两个不相等实根的概率；（2）若a从区间[0，2]中任取一个数，b从区间[0，3]中任取一个数，求方程f（x）=0没有实根的概率．

Answer 1

（1）a取集合{0，1，2，3}中任一元素， b取集合{0，1，2}中任一元素 ∴a、b的取值情况有（0，0），（0，1）（0，2） （1，0）（1，1）（1，2）（2，0）， （2，1），（2，2），（3，0）（3，1）（3，2） 其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，基本事件总数为12． 设“方程f（x）=0有两个不相等的实根”为事件A， 当a≥0，b≥0时方程f（x）=0有两个不相等实根的充要条件为a＞b 当a＞b时，a的取值有（1，0）（2，0）（2，1）（3，0）（3，1）（3，2） 即A包含的基本事件数为6． ∴方程f（x）=0有两个不相等的实根的概率P（A）= 6 12 = 1 2 （2）∵a从区间[0，2]中任取一个数，b从区间[0，3]中任取一个数 则试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}这是一个矩形区域，其面积S Ω =2×3=6 设“方程f（x）=0没有实根”为事件B 则事件B构成的区域为M={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a≤b}即图中阴影部分的梯形，其面积SM=6- 1 2 ×2×2=4 由几何概型的概率计算公式可得方程f（x）=0没有实根的概率P（B）= S M S Ω = 4 6 = 2 3 ．