Question

.选修4-1：几何证明选讲：如图，在Rt△ABC中， , BE平分∠ABC交AC于点E， 点D在AB上， ． (Ⅰ)求证：A

.选修4-1：几何证明选讲：如图，在Rt△ABC中， , BE平分∠ABC交AC于点E， 点D在AB上， ． (Ⅰ)求证：AC是△BDE的外接圆的切线；(Ⅱ)若 ，求EC的长．

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Answer 1

(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) EC= ．

（I）只需证明：设圆心为O，则证明 即可.进一步可考虑证明OE//BC. (II)可以利用切割线定理解决，先通过 ,求出半径长，再利用OE//BC，可得 ，求出EC的长. (Ⅰ)取BD的中点O，连接OE． ∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE，∴∠OBE=∠BEO， ∴∠CBE=∠BEO，∴BC∥OE．………………3分 ∵∠C=90°，∴OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圆的切线． --------------------5分 (Ⅱ)设⊙O的半径为r，则在△AOE中， ，即 ，解得 , ∴OA=2OE， ∴∠A=30°，∠AOE=60°． ∴∠CBE=∠OBE=30°． ∴EC= ．   ------------------------------10分