Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）= （a＞0），设F（x）=f（x）+g（x），（Ⅰ）求函数F（x）的单调区间；（Ⅱ

已知函数f（x）=lnx，g（x）= （a＞0），设F（x）=f（x）+g（x），（Ⅰ）求函数F（x）的单调区间；（Ⅱ）若以函数y=F（x）（x∈（0，3]）图像上任意一点P（x 0 ，y 0 ）为切点的切线的斜率k≤ 恒成立，求实数a的最小值；（Ⅲ）是否存在实数m，使得函数y= +m-1的图像与函数y=f（1+x 2 ）的图像恰有四个不同的交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由。

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Answer 1

解：（Ⅰ） ， ∵a＞0，由 ， ∴F（x）在（a，+∞）上单调递增； 由 ， ∴F（x）在（0，a）上单调递减， ∴F（x）的单调递减区间为（0，a），单调递增区间为（a，+∞）； （Ⅱ） ， ， 当 时， 取得最大值 ， ∴ 。 （Ⅲ）若 的图象与 的图象恰有四个不同的交点， 即 有四个不同的根， 亦即 有四个不同的根， 令 ， 则 ， 当x变化时，G′（x）、G（x）的变化情况如下表： 由表格知： ， 又∵ 可知， 当 时，y=G（x）与y=m恰有四个不同的交点； ∴当 时， 的图象与 的图象恰有四个不同的交点。