Question

如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于

如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD=4，CD=3．下列结论：①∠AED=∠ADC；②DEDA=12；③AC?BE=12；④3BF=4AC．其中结论正确的个数有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个

Answer 1

解：①∠AED=90°-∠EAD，∠ADC=90°-∠DAC，
∵AD平分∠BAC
∴∠EAD=∠DAC，
∴∠AED=∠ADC．
故本选项正确；
②∵∠EAD=∠DAC，∠ADE=∠ACD=90°，∴△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=3：AC，但AC的值未知，
故不一定正确；
③由①知∠AED=∠ADC，
∴∠BED=∠BDA，
又∵∠DBE=∠ABD，
∴△BED∽△BDA，
∴DE：DA=BE：BD，由②知DE：DA=DC：AC，
∴BE：BD=DC：AC，
∴AC?BE=BD?DC=12．
故本选项正确；
④连接DM，则DM=MA．
∴∠MDA=∠MAD=∠DAC，
∴DM∥BF∥AC，
由DM∥BF得FM：MC=BD：DC=4：3；
由BF∥AC得△FMB∽△CMA，有BF：AC=FM：MC=4：3，∴3BF=4AC．
故本选项正确．
综上所述，①③④正确，共有3个．
故选C．