假设f（x）为[0，1]上单调递减的正值连续函数，试证明：∫10f2（x）dx∫10xf（x）dx≥∫10xf2（x）dx∫10
假设f（x）为[0，1]上单调递减的正值连续函数，试证明：∫10f2（x）dx∫10xf（x）dx≥∫10xf2（x）dx∫10f（x）dx．...
假设f（x）为[0，1]上单调递减的正值连续函数，试证明：∫10f2（x）dx∫10xf（x）dx≥∫10xf2（x）dx∫10f（x）dx．
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瞌睡鬃蔽9
推荐于2020-03-15
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由于
定积分与积分变量的选取无关，原不等式可以写成
f2(x)dxyf(y)dy≥
xf2(x)dxf(y)dy．
将
f2(x)dxyf(y)dy写成
二重积分f2(x)yf(y)dxdy，其中D：0≤x≤1，0≤y≤1；
类似地，将
xf2(x)dxf(y)dy写成二重积分
xf2(x)f(y)dxdy，其中D：0≤x≤1，0≤y≤1．
则证明原不等式等价于证明
f2(x)yf(y)dxdy≥
xf2(x)f(y)dxdy．
也即
(y?x)f(y)f2(x)dxdy≥0．
由
轮换对称性可得
(y?x)f(y)f2(x)dxdy＝(x?y)f(x)f2(y)dxdy=
(x?y)[f(y)?f(x)]f(x)f(y)dxdy由于f（x）为[0，1]上单调递减的正值
连续函数，可知x-y与f（y）-f（x）同号，故
（x-y）[f（y）-f（x）]≥0．
因此
(y?x)f(y)f2(x)dxdy≥0．
也即
f2(x)dxxf(x)dx≥
xf2(x)dxf(x)dx．
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