Question

过单位圆x2+y2=1是位于第一象限的任意一点作圆的切线，则该切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值是

过单位圆x2+y2=1是位于第一象限的任意一点作圆的切线，则该切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值是 ______．

Answer 1

设切点坐标为（x₀，y₀），因为切线方程的斜率与过切点的半径所在的直线垂直，过切点的半径所在的直线的斜率为

y0

x0

，则切线方程的斜率为-

x0

y0

，所以切线方程为y-y₀=-

x0

y0

（x-x₀），因为切点在圆上所以x₀²+y₀²=1，化简得切线方程为x₀x+y₀y=1，
该切线与两坐标轴的交点坐标分别是(

1

x0

，0)，(0，

1

y0

)，
故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是

1

2x0y0

，又x₀²+y₀²=1，
故

1

2x0y0

≥

1

x  2 0 + y  2 0

=1，即切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值是1．
故答案为1．