Question

已知抛物线y=-x2+（m-4）x+2m+4与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）与y轴交于点C，且x1=-2x2（x1＜x2），

已知抛物线y=-x2+（m-4）x+2m+4与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）与y轴交于点C，且x1=-2x2（x1＜x2），点A关于y轴的对称点为D．（1）确定A，B，C三点的坐标；（2）求过B，C，D三点的抛物线的解析式；（3）若y=3与（2）小题中所求抛物线交于M，N，以MN为一边，抛物线上任一点P（x，y）为顶点作为平行四边形，若平行四边形面积为S，写出S与P点纵坐标y的函数关系式；（4）当13＜x＜4时，（3）小题中平行四边形的面积是否有最大值？若有，请求出；若无，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意得

x1+x2＝m?4 x1?x2＝?(2m+4) x1＝?2x2

，
解得m=7或m=2，
当m=7时，x₁=-6，x₂=3，x₁+x₂=-3≠3，
故m=7不合题意，舍去；
当m=2时，x₁=-4，x₂=2；
即：A（-4，0），B（2，0），C（0，8）．

（2）D（4，0）；
设过三点的抛物线为y=ax²+bx+c，
则有

4a+2b+c＝0 16a+4b+c＝0 c＝8

，
解得

a＝1 b＝?6 c＝8

，
抛物线是y=x²-6x+8．

（3）∵抛物线y=x²-6x+8与直线y=3相交，
∴M（1，3），N（5，3），|MN|=4，
而抛物线顶点为（3，-1），
当y＞0时，S=4|y-3|；
当-1≤y≤0时，S=12+4|y|．

（4）使以MN为一边，P（x，y）为顶点，且（

1

3

＜x＜4）的平行四边形面积最大，只要点P到MN的距离最大，所以满足条件的平行四边形的面积有最大值是16．