Question

椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且|AF2|，|A

椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求证：|AB|=43a；（2）若直线l的斜率为1，且点（0，-1）在椭圆C上，求椭圆C的方程．

Answer 1

解答：（1）证明：由题设，∵|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列，∴2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，
由椭圆定义|AB|+|AF₂|+|BF₂|=4a，…（4分）
所以，|AB|=

4

3

a．…（2分）
（2）解：由点（0，-1）在椭圆C上，可设椭圆C的方程为

x2

a2

+y2=1(a＞1)，…（2分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F₁（-c，0），l：x=y-c，代入椭圆C的方程，整理得（a²+1）y²-2cy-1=0，（*）    …（2分）
则|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=2(y1-y2)2=2[(y1+y2)2-4y1y2]=2[(

2c

a2+1

)2+

4

a2+1

]=

2

(a2+1)2

4[c2+a2+1]=

8

(a2+1)2

?2a2，
于是有

4

3

a=

4

a2+1

?a，…（4分）
解得a=

2

，故椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．       …（2分）