Question

设 是锥面z=x2+y2（0≤z≤1）的下侧，则∫∫xdydz+2ydzdx+3（z-1）dxdy=______

设 是锥面z=x2+y2（0≤z≤1）的下侧，则∫∫xdydz+2ydzdx+3（z-1）dxdy=______．





Answer 1

因为Σ是锥面z＝

x2+y2

(0≤z≤1)的下侧，不是封闭曲面，
故首先添加一曲面Σ₁：

z＝1 x2+y2≤1

，取上侧，使Σ+Σ₁构成封闭曲面，并记其所围区域为Ω．
则
 

?

xdydz+2ydzdx+3(z?1)dxdy
=

?

∑+∑1

xdydz+2ydzdx+3(z?1)dxdy-

?

∑1

xdydz+2ydzdx+3(z?1)dxdy．
利用柱面坐标系计算可得，
 

?

∑+∑1

xdydz+2ydzdx+3(z?1)dxdy
=

?

Ω

(1+2+3)dxdydz
=6

∫

2π 0

dθ

∫

1 0

rdr

∫

1 r

dz
=12π

∫

1 0

r(1?r)dr
=2π．
而 

?

∑1

xdydz+2ydzdx+3(z?1)dxdy=0，
所以

?

xdydz+2ydzdx+3(z?1)dxdy=2π-0=2π．

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示