Question

如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x 2 +bx+c与x轴的另一交点为A，

如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x 2 +bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P。①求该抛物线的解析式和A点的坐标；②连接AC，BP，求证：△BCP∽△OCA；③在x轴上找一点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点Q的坐标。

Answer 1

解：①y=﹣x+3，x=0时，y=3，y=0时，x=3， ∴B（3，0），C（0，3）， 代入y=x2+bx+c得： ， 解得：b=﹣4，c=3， 即抛物线的解析式是：y=x 2 ﹣4x+3， 当y=0时，x 2 ﹣4x+3=0， 解得：x 1 =3，x 2 =1， 即A的坐标是（1，0）； ②解：A（1，0），B（3，0），C（0，3），P（2，﹣1）， 由勾股定理得：CB=3 ，CP=2 ，BP= ，AC= ，OC=3，OA=1， ∴ = = = ， ∴△BCP∽△OCA； ③∵∠ABC=∠ABP=45°， ∴点Q只能在点B的左侧，若 ， 即 可解得BQ=3， ∵B（3，0）， ∴点Q坐标为（0，0）； 若 ，即 ， 解得BQ= ，点Q的坐标为（ ，0）。