已知数列an、bn中，对任何正整数n都有：a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=2n+1-n-2．（1）若数列an是首
已知数列an、bn中，对任何正整数n都有：a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=2n+1-n-2．（1）若数列an是首项和公差都是1的等差数列...
已知数列an、bn中，对任何正整数n都有：a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=2n+1-n-2．（1）若数列an是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列bn是等比数列；（2）若数列bn是等比数列，数列an是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由；（3）若数列an是等差数列，数列bn是等比数列，求证：ni＝11aibi＜32．
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（1）依题意数列an的通项公式是an=n，
故等式即为bn+2bn-1+3bn-2+…+（n-1）b2+nb1=2n+1-n-2，bn-1+2bn-2+3bn-3+…+（n-2）b2+（n-1）b1=2n-n-1（n≥2），
两式相减可得bn+bn-1+…+b2+b1=2n-1（3分）
得bn=2n-1，数列bn是首项为1，公比为2的等比数列．（4分）
（2）设等比数列bn的首项为b，公比为q，则bn=bqn-1，从而有：bqn-1a1+bqn-2a2+bqn-3a3+…+bqan-1+ban=2n+1-n-2，
又bqn-2a1+bqn-3a2+bqn-4a3+…+ban-1=2n-n-1（n≥2），
故（2n-n-1）q+ban=2n+1-n-2（6分）
an＝
×2n+
×n+
，
要使an+1-an是与n无关的常数，必需q=2（8分）
即①当等比数列bn的公比q=2时，数列an是等差数列，其通项公式是an＝
；
②当等比数列bn的公比不是2时，数列an不是等差数列．（9分）
（3）由（2）知anbn=n?2n-1，（10分）
显然n=1，2时
＜
当n≥3时
＝
+
+
+
++
＜
+
+
+…+
（14分）
=1+
?
=
?
＜
故等式即为bn+2bn-1+3bn-2+…+（n-1）b2+nb1=2n+1-n-2，bn-1+2bn-2+3bn-3+…+（n-2）b2+（n-1）b1=2n-n-1（n≥2），
两式相减可得bn+bn-1+…+b2+b1=2n-1（3分）
得bn=2n-1，数列bn是首项为1，公比为2的等比数列．（4分）
（2）设等比数列bn的首项为b，公比为q，则bn=bqn-1，从而有：bqn-1a1+bqn-2a2+bqn-3a3+…+bqan-1+ban=2n+1-n-2，
又bqn-2a1+bqn-3a2+bqn-4a3+…+ban-1=2n-n-1（n≥2），
故（2n-n-1）q+ban=2n+1-n-2（6分）
an＝
| 2?q |
| b |
| q?1 |
| b |
| q?2 |
| b |
要使an+1-an是与n无关的常数，必需q=2（8分）
即①当等比数列bn的公比q=2时，数列an是等差数列，其通项公式是an＝
| n |
| b |
②当等比数列bn的公比不是2时，数列an不是等差数列．（9分）
（3）由（2）知anbn=n?2n-1，（10分）
显然n=1，2时
| n |
 |
| i＝1 |
| 1 |
| aibi |
| 3 |
| 2 |
当n≥3时
| n |
|
| i＝1 |
| 1 |
| aibi |
| 1 |
| 1×1 |
| 1 |
| 2×2 |
| 1 |
| 3×22 |
| 1 |
| 4×23 |
| 1 |
| n×2n?1 |
＜
| 1 |
| 1×1 |
| 1 |
| 2×2 |
| 1 |
| 2×22 |
| 1 |
| 2×2n?1 |
=1+
| 1 |
| 2×2 |
1?(
| ||
1?
|
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2n |
