Question

（2014?海口二模）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E为CD中点．（1）求证：AD1⊥B1E；（2）若A

（2014?海口二模）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E为CD中点．（1）求证：AD1⊥B1E；（2）若AB=2，求平面AB1E把长方体ABCD-A1B1C1D1分成的两部分几何体的体积的比值．

Answer 1

（1）连B₁C和A₁D
由长方体的性质可知CD⊥平面A₁ADD₁，从而CD⊥A₁D

又AA₁=AD=1，所以四边形AA₁D₁D是正方形
所以AD₁⊥A₁D
因为CD∩A₁D=D，所以AD₁⊥面A₁B₁CD
因为B₁E?面A₁B₁CD，所以AD₁⊥B₁E
（2）取C₁C中点F，连EF和B₁F
易证EF||AB₁，所以平面AB₁E即为平面AEFB₁，其把长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁分成两部分．
连BF，则VF?ABCE＝

1

3

SABCE?FC＝

1

3

×

1

2

×(1+2)×1×

1

2

＝

1

4

VF?ABB1＝

1

3

SABB1?BC＝

1

3

×

1

2

×2×1×1＝

1

3

所以几何体CEF-ABB₁的体积VCEF?ABB1＝

1

4

+

1

3

＝

7

12

而长方体的体积V=2×1×1=2
所以平面AB₁E把长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁分成的两部分
几何体的体积的比等于

7 12

2? 1 12

＝

7

17