Question

已知关于x的方程|x2-ax+b|=c（b，c＞0）恰有不同的三个根x1，x2，x3，x1+x2+x3=6，则1b+ac的最小值是____

已知关于x的方程|x2-ax+b|=c（b，c＞0）恰有不同的三个根x1，x2，x3，x1+x2+x3=6，则1b+ac的最小值是______．

Answer 1

设f（x）=x²-ax+b=(x?

a

2

)2+b?

a2

4

，
画出函数y=|f（x）|与y=c的图象．
∵关于x的方程|x²-ax+b|=c（b，c＞0）恰有不同的三个根x₁，x₂，x₃，且x₁+x₂+x₃=6，
∴x2＝

a

2

，x₁+x₃=a，
∴

3a

2

=6，解得a=4．
∴x₂=2，
又

a2

4

?b＝c，
∴b+c=4．又b，c＞0．
∴

1

b

+

a

c

=

1

b

+

4

c

=

1

4

(b+c)(

1

b

+

4

c

)=

1

4

(5+

c

b

+

4b

c

)≥

1

4

(5+2

c b ? 4b c

)=

9

4

，当且仅当c=2b=

8

3

时取等号．
∴

1

b

+

a

c

的最小值是

9

4

．
故答案为：

9

4

．