Question

设函数f（x）=x3-3ax+b（a≠0）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a，b的值；

设函数f（x）=x3-3ax+b（a≠0）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a，b的值；（Ⅱ）若f（1）=2，当函数y=f（x）存在极值时，求函数f（x）极小值的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=3x²-3a，
∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，
∴

f′(2)＝0 f(2)＝8

?

3(4?a)＝0 8?6a+b＝8

?

a＝4 b＝24.

（Ⅱ）b=3a+1∵f′（x）=3（x²-a）（a≠0），
当a＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，此时函数f（x）没有极值点．
当a＞0时，由 f′(x)＝0?x＝±

a

，
当 x∈(?∞，?

a

)时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当 x∈(?

a

，

a

)时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当 x∈(

a

，+∞)时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
∴此时 x＝?

a

是f（x）的极大值点，x＝

a

是f（x）的极小值点．
所以，极小值为f（

a

）=3a-2a

a

+1，t=

a

，
h（t）=-2t³+3t²+1，h′（t）=-6t²+6t=-6t（t-1），t∈（0，+∞），
在（0，1）增，（1，+∞）减，所以最大值为2，所求为（-∞，2]（共10分）