Question

如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以这两个交点和该抛物线的顶点、对称轴上一点为

如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以这两个交点和该抛物线的顶点、对称轴上一点为顶点的菱形称为这条抛物线的“抛物菱形”．（1）若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点为（-1，0）、（3，0），且这条抛物线的“抛物菱形”是正方形，求这条抛物线的函数解析式；（2）如图，四边形OABC是抛物线y=-x2+bx（b＞0）的“抛物菱形”，且∠OAB=60°①求“抛物菱形OABC”的面积．②将直角三角板中含有“60°角”的顶点与坐标原点O重合，两边所在直线与“抛物菱形OABC”的边AB、BC交于E、F，△OEF的面积是否存在最小值，若存在，求出此时△OEF的面积；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点为（-1，0）、（3，0），四边形OABC是正方形，
∴A（1，2），
∴

0＝a?b+c 0＝9a+3b+c 2＝a+b+c

 解得：

a＝? 1 2 b＝1 c＝ 3 2

∴抛物线的解析式为：y=-

1

2

x²+x+

3

2

；
（2）①∵由抛物线y=-x²+bx（b＞0）可知OB=b，
∵∠OAB=60°，
∴A（

b

2

，

3

2

b），
代入y=-x²+bx得：

3

2

b=-（

b

2

）²+b?

b

2

，解得：b=2

3

，
∴OB=2

3

，AC=6，
∴“抛物菱形OABC”的面积=

1

2

OB?AC=6

3

；
②存在；
当三角板的两边分别垂直与AB和BC时三角形OEF的面积最小，
∵OE⊥AB，
∴∠EOB=

1

2

∠AOB=30°，
同理∠BOF=30°，
∵∠EOF=60°
∴OB垂直EF且平分EF，
∴三角形OEF是等边三角形，
∵OB=

2 3

3

，
∴OE=1，
∴OE=OF=EF=1，
∴△OEF的面积=

3

4

．