已知双曲线x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,过点F作垂直于x轴的直线与双曲线交于 B、
已知双曲线x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,过点F作垂直于x轴的直线与双曲线交于B、C两点,且AB⊥AC,|BC|=6.(1)求双曲线的方...
已知双曲线x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,过点F作垂直于x轴的直线与双曲线交于 B、C 两点,且AB⊥AC,|BC|=6.(1)求双曲线的方程;(2)过F的直线l交双曲线左支D点,右支E点,P为DE的中点,若以AF为直径的圆恰好经过P点,求直线l的方程.
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解答:解 (1)∵AB⊥AC,BC⊥x轴,|BC|=6,
∴AF=a+c=6,
直线BC:x=c,代入
?
=1,得:y2=
,B(c,
),C(c,-
).
∴
∴a=1,c=2,从而b2=3
所求双曲线的方程为x2-
=1.
(2)设直线l的方程为y=k(x-2),代入3x2-y2=3,得:(3-k2) x2+4k2x-4k2-3=0D(x1,y1),E(x2,y2)由题意x1x2=
<0,∴-
<k<
x1+x2=
,y1+y2=k(x1+x2)-4 k=
∵P为DE的中点,∴P(
,
),A(-1,0),F(2,0)
又∵以AF为直径的圆恰好经过P点,∴
?
=0
(
+1,
)(
-2,
)=0,
(
+1)(
-2)+(
)2=0,化简得54k2=18,k=±
此时直线l的方程y=±
(x-2).
∴AF=a+c=6,
直线BC:x=c,代入
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
(c2?a2)2 |
a2 |
c2?a2 |
a |
c2?a2 |
a |
∴
|
∴a=1,c=2,从而b2=3
所求双曲线的方程为x2-
y2 |
3 |
(2)设直线l的方程为y=k(x-2),代入3x2-y2=3,得:(3-k2) x2+4k2x-4k2-3=0D(x1,y1),E(x2,y2)由题意x1x2=
?4k2?3 |
3?k2 |
3 |
3 |
x1+x2=
?4k2 |
3?k2 |
?12k |
3?k2 |
∵P为DE的中点,∴P(
?2k2 |
3?k2 |
?6k |
3?k2 |
又∵以AF为直径的圆恰好经过P点,∴
AP |
FP |
(
?2k2 |
3?k2 |
?6k |
3?k2 |
?2k2 |
3?k2 |
?6k |
3?k2 |
(
?2k2 |
3?k2 |
?2k2 |
3?k2 |
?6k |
3?k2 |
| ||
3 |
此时直线l的方程y=±
| ||
3 |
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