Question

帮忙解答一个微积分的问题，谢谢！

求函数F(x)=∫上x下0 t^2(t-4)dt , t属于[-1,5]上的最大值与最小值

Answer 1

变上限积分求导，

dF(x)/dx=x^2(x-4)

此导数=0得 x=0 或x=4

现在只需比较F(-1)、F(0)、F(4)、F(5)的大小即可

t^2(t-4)=t^3-4t^2 故F(x)=1/4t^4-4/3t^3

F(-1)=19/12、F(0)=0、F(4)=-64/3、F(5)=-125/12

故最大值为19/12,最小值为-64/3

Answer 2

对F（x）求导，这个是积分函数，求导直接去积分符号
F'x=x^2(x-4)

F'x=0时，x=0或者4
x<0或者x>4时，f'x>0，此时函数递增
0<x<4时，f'x<0，函数递减
F(0)=0,为极大值，
F(4）极小值
下面积分一下函数，Fx=x^4/4-4x^3/3 F4=64-256/3
当t属于[-1,5]，即x属于[-1,5]
端点处F(-1)=1/4+4/3
F(5)=625/4-500/3
最小值是F4=-64/3
最大值是F(-1）=19/12