Question

（2011?广州）如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在

（2011?广州）如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．（1）证明：B、C、E三点共线；（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN= OM；（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D 1 CE 1 （图2），若M 1 是线段BE 1 的中点，N 1 是线段AD 1 的中点，M 1 N 1 = OM 1 是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．

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Answer 1

（1）证明：∵AB是直径， ∴∠BCA=90°， 而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角， ∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°， ∴B、C、E三点共线； （2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，如图， ∵CB=CA，CD=CE， ∴Rt△BCD≌Rt△ACE， ∴BD=AE，∠EBD=∠CAE， ∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BD⊥AE， 又∵M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，而O为AB的中点， ∴ON= BD，OM= AE，ON∥BD，AE∥OM； ∴ON=OM，ON⊥OM，即△ONM为等腰直角三角形， ∴MN= OM； （3）成立．理由如下： 和（2）一样，易证得Rt△BCD 1 ≌Rt△ACE 1 ，同里可证BD 1 ⊥AE 1 ，△ON 1 M 1 为等腰直角三角形， 从而有M 1 N 1 = OM 1 ．

略