Question

已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们

已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），解答下列问题： （1）求△ABC的面积；（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？（3）设四边形APQC的面积为y（cm 2 ），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1） （2）根据题意：AP=tcm，BQ=tcm △ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°， ∴BP=（3-t ）cm △PBQ中，BP=3-t，BQ=t， 若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90° 当∠BQP=90°时，BQ= BP 即t= （3-t ）， t=1 （秒） 当∠BPQ=90°时，BP= BQ 3-t= t， t=2 （秒） 答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形。

（3）过P作PM⊥BC于M Rt△BPM中，sin∠B= ， ∴PM=PB·sin∠B= （3-t ） ∴S △PBQ = BQ·PM= · t · （3-t ） ∴y=S △ABC -S △PBQ = ×3 2 × - · t ·（3-t ） = ∴y与t的关系式为：y= 假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的 ， 则S 四边形APQC = S △ABC ∴ = ∴t 2 -3t+3=0 ∵（-3） 2 -4×1×3＜0， ∴方程无解 ∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的 。