Question

如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．（1）求

如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）当AB=5，AC=8时，求cos∠E的值．

Answer 1

（1）证明：如图，连接OD，BD ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=∠90°， ∴BD⊥AC； ∵AB=BC， ∴AD=DC； ∵OA=OB， ∴OD∥BC， ∵DE⊥BC， ∴DE⊥OD． ∴直线DE是⊙O的切线． （2）解：作DH⊥AB，垂足为H，则∠EDH+∠E=90°， 又DE⊥OD， ∴∠ODH+∠EDH=90°． ∴∠E=∠ODH． ∵AD=DC，AC=8， ∴AD=4． 在Rt△ADB中，BD=  =3， 由三角形面积公式得：AB·DH=DA·DB． 即5·DH=3×4，DH=  ． 在Rt△ODH中，cos∠ODH=  =  ， ∴cos∠E=  ．