Question

如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接B

如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F。 （1）证明：∠CAE=∠CBF；（2）证明：AE=BF；（3）以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG(点E与点F重合于点G)，记△ABC 和△ABG的面积分别为S △ABC 和S △ABG ，如果存在点P，能使得S △ABC =S △ABG ，求∠ACB的取值范围。

Answer 1

解：(1)证明：∵△ABC是等腰三角形，CH是底边上的高线， ∴AC=BC，∠ACP=∠BCP， 又∵CP=CP ∴△ACP≌△BCP， ∴∠CAP=∠CBP，即∠CAE=∠CBF； (2)证明：∵∠ACE=∠BCF，∠CAE=∠CBF，AC=BC， ∴△ACE≌△BCF ∴AE=BF； (3)由(2)知△ABG是以AB为底边的等腰三角形， ∴S △ABC =S △ABG 等价于AE=AC， ①当∠C为直角或钝角时，在△ACE中，不论点P在CH何处，均有AE>AC，所以结论不成立； ②当∠C为锐角时，∠A=90°- ∠C，而∠CAE<∠A，要使AE=AC，只需使∠C=∠CEA， 此时，∠CAE=180°-2∠C，只需180°-2∠C< 90°- ∠C，解得60°<∠C< 90°， （也可在ACEA中通过比较∠C和∠CEA的大小而得到结论）。