Question

如图，已知抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，-1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B

如图，已知抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，-1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D。 （1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；（3）在问题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵抛物线的顶点为Q（2，-1） 设 将C（0，3）代入上式，得 ∴ 即 。
（2）分两种情况： ①当点P 1 为直角顶点时，点P 1 与点B重合（如图） 令y=0，得 解得： ， ∵点A在点B的右边， ∴B（1，0），A（3，0）  ∴P 1 （1，0） ②当点A为△APD 2 的直角顶点是（如图） ∵OA=OC，∠AOC=90°， ∴∠OAD 2 =45° 当∠D 2 AP 2 =90°时，∠OAP 2 =45°， ∴AO平分∠D 2 AP 2 又∵P 2 D 2 ∥y轴， ∴P 2 D 2 ⊥AO， ∴P 2 、D 2 关于x轴对称 设直线AC的函数关系式为 将A（3，0）， C（0，3）代入上式得 ， ∴ ∴ ∵D 2 在 上，P 2 在 上， ∴设D 2 （x，-x+3），P 2 （x， ） ∴（ ）+（ ）=0 ， ∴ ， （舍） ∴当x=2时， = =-1 ∴P 2 的坐标为P 2 （2，-1）（即为抛物线顶点） ∴P点坐标为P 1 （1，0），P 2 （2，-1）。
（3）由题（2）知，当点P的坐标为P 1 （1，0）时，不能构成平行四边形 当点P的坐标为P 2 （2，-1）（即顶点Q）时，平移直线AP（如图）交x轴于点E，交抛物线于点F 当AP=FE时，四边形PAFE是平行四边形 ∵P（2，-1）， ∴可令F（x，1） ∴ 解之得： ， ∴F点有两点，即F 1 （ ，1），F 2 （ ，1）。

Answer 2

解：1）抛物线的顶点坐标为Q(2,-1)

所以
x=-b/2a=2
得
b=
-4a
y=-b²/4a+c=-1
得
4a=c+1
点c（0,3）在抛物线上
得
c=3
得a=1
b=-4

2）当
y=0时
x²-4x+3=0
解得
x1=3
，x2=1

所以由题意得A(3,0)
,B(1,0)

所以AC的直线方程为
x+y=3

设P(x,y)

因为PD‖y轴
所以D的横坐标为x

所以D（x，3-x）

ΔADP是直角三角形时

所以①当∠DPA=90°P与B重合
为（1,0）

②当∠DAP=90时

向量
AP=(3-X,-y)
向量AD=(3,-3)

所以
9-3x+3y=0
得
y-x+3=0

在抛物线上
所以
x²-5x+6=0

得x1=2
或x2=3（舍去，P与A不重合）

所以
P(2，-1)
3)

①当P（1,0）时不存在以APEF为顶点的平行四边形

②当P(2，-1)

设
E(k,0)
F（x2,y2）

向量AP=(1,1)
向量FE=(x2-k,y2)

1×y2－1×(x2-k)=0
得y2=x2-k
注：平行四边形对边平行

2=（x2-k）²+y2
²
所以y2
²=1
注：平行四边形对边相等

当y2=1时y=x²-4x+3=1
得x
²-4x+2=0

解得x=（4±√8）/2=2±√2

当x=2-√2
k=x2-y2=2-√2-1=1-√2

当x=2+√2时
k=x2-y2=2+√2-1=1+√2

当y2=-1时
只有一点
舍去

所以F坐标为
（2-√2,1）或（2+√2,1）