Question

已知函数f(x)＝1?42ax+a(a＞0且a≠1)是定义在（-∞，+∞）上的奇函数．（1）求a的值；（2）求函数f（x）

已知函数f(x)＝1?42ax+a(a＞0且a≠1)是定义在（-∞，+∞）上的奇函数．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的值域．（3）当x∈（0，1]时，t?f（x）≥2x-2恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，即f（-x）=-f（x）
令x＝0得f(0)＝1?

4

2×a0+a

＝0，解得a＝2
(2)记y＝f(x)，即y＝

2x?1

2x+1

，∴2x＝

1+y

1?y

，由2x＞0知

1+y

1?y

＞0
∴-1＜y＜1，即f（x）的值域为（-1，1）．
(3)不等式tf(x)≥2x?2，即为

t?2x?t

2x+1

≥2x?2
即（2^x）²-（t+1）?2^x+t-2≤0，设2^x=u，∵x∈（0，1]，∴u∈（1，2]．
∴当x∈（0，1]时，tf（x）≥2^x-2恒成立，即为u∈（1，2]时u²-（t+1）?u+t-2≤0恒成立．
∴

12?(t+1)×1+t?2≤0 22?(t+1)×2+t?2≤0

，
解得：t≥0．