（2014?北京模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD
（2014?北京模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA...
（2014?北京模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=12AD=1，CD=3．（Ⅰ）若点M是棱PC的中点，求证：PA∥平面BMQ；（Ⅱ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅲ）若二面角M-BQ-C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．
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证明：（Ⅰ）连接AC，交BQ于N，连接MN． …（1分）
∵BC∥AD且BC=
AD，即BC
AQ，
∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，
又∵点M在是棱PC的中点，
∴MN∥PA．…（2分）
∵MN?平面MQB，PA?平面MQB，…（3分）
∴PA∥平面MBQ． …（4分）
（Ⅱ）∵AD∥BC，BC=
AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．…（6分）
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD
且平面PAD∩平面ABCD=AD，…（7分）
∴BQ⊥平面PAD． …（8分）
∵BQ?平面PQB，
∴平面PQB⊥平面PAD． …（9分）
另证：AD∥BC，BC=
AD，Q为AD的中点
∴BC∥DQ 且BC=DQ，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90° 即QB⊥AD． …（6分）
∵PA=PD，∴PQ⊥AD． …（7分）
∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ． …（8分）
∵AD?平面PAD，
∴平面PQB⊥平面PAD． …（9分）
（Ⅲ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．…（10分）
（不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分）
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．
则平面BQC的法向量为
＝(0，0，1)；Q（0，0，0），P(0，0，
)，B(0，
，0)，C(?1，
，0)．…（11分）
设M（x，y，z），
则
＝(x，y，z?
∵BC∥AD且BC=
| 1 |
| 2 |
| ||
. |
∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，
又∵点M在是棱PC的中点，
∴MN∥PA．…（2分）
∵MN?平面MQB，PA?平面MQB，…（3分）
∴PA∥平面MBQ． …（4分）
（Ⅱ）∵AD∥BC，BC=
| 1 |
| 2 |
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．…（6分）
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD
且平面PAD∩平面ABCD=AD，…（7分）
∴BQ⊥平面PAD． …（8分）
∵BQ?平面PQB，
∴平面PQB⊥平面PAD． …（9分）
另证：AD∥BC，BC=
| 1 |
| 2 |
∴BC∥DQ 且BC=DQ，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90° 即QB⊥AD． …（6分）
∵PA=PD，∴PQ⊥AD． …（7分）
∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ． …（8分）
∵AD?平面PAD，
∴平面PQB⊥平面PAD． …（9分）
（Ⅲ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．…（10分）
（不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分）
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．
则平面BQC的法向量为
| n |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
设M（x，y，z），
则
| PM |
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