Question

（2013?枣阳市模拟）如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90°，且EF

（2013?枣阳市模拟）如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）证明：∠BAE=∠FEC；（2）求△AEF的面积．

Answer 1

证明：如右图，
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，AB=BC，
∵G、E是AB、BC中点，
∴BG=

1

2

AB，BE=

1

2

BC，
∴BG=BE，
∴∠BGE=∠BEG=45°，
∴∠BGE=∠1+∠2=45°，
∵∠AEF=90°，
∴∠1+∠4=180°-45°-90°=45°，
∴∠2=∠4，
即∠BAE=∠FEC；
（2）由（1）知∠BGE=45°，
∴∠AGE=135°，
∵CF是∠DCH的角平分线，
∴∠FCH=

1

2

×90°=45°，
∴∠ECF=135°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∵G、E是AB、BC中点，
∴AG=

1

2

AB，EC=

1

2

BC，
∴AG=EC，
在△AGE和△ECF中，

∠4＝∠2 AG＝EC ∠AGE＝∠ECF＝135°

，
∴△AGE≌△ECF，
∴AE=EF，
在Rt△ABE中，∵AE²=AB²+BE²，
∴AE²=

5

4

a²，
∴S△AEF=

1

2

×AE×EF=

1

2

AE²=

1

2

×

5

4

a²=

5

8

a²．