Question

已知实数k∈R，且k≠0，e为自然对数的底数，函数f（x）=k?exex+1，g（x）=f（x）-x．（1）如果函数g（x）

已知实数k∈R，且k≠0，e为自然对数的底数，函数f（x）=k?exex+1，g（x）=f（x）-x．（1）如果函数g（x）在R上为减函数，求k的取值范围；（2）如果k∈（0，4]，求证：方程g（x）=0有且有一个根x=x0；且当x＞x0时，有x＞f（f（x））成立；（3）定义：①对于闭区间[s，t]，称差值t-s为区间[s，t]的长度；②对于函数g（x），如果对任意x1，x2∈[s，t]?D（D为函数g（x）的定义域），记h=|g（x2）-g（x1）|，h的最大值称为函数g（x）在区间[s，t]上的“身高”．问：如果k∈（0，4]，函数g（x）在哪个长度为2的闭区间上“身高”最“矮”？

Answer 1

（1）∵g（x）=f（x）-x=

k?ex

ex+1

-x在R上为减函数，
∴g′(x)＝

kex(ex+1)?kex?ex

(ex+1)2

?1=

kex

(ex+1)2

?1≤0恒成立．
即k≤

(ex+1)2

ex

恒成立．
∵

(ex+1)2

ex

=ex+

1

ex

+2≥2+2=4．
当且仅当ex＝

1

ex

，即x=0时，

(ex+1)2

ex

的最小值为4．
∴k的取值范围为（-∞，4]．
（2）由（1）知，
k∈（0，4]时，g（x）在R上为减函数．
又g（0）=

k

1+1

?0=

k

2

＞0，
g（4）=

k?e4

e4+1

-4=

ke4?4e4?4

e4+1

=

(k?4)e4?4

e4+1

，
∵k≤4，
∴（k-4）e⁴-4＜0，
∴g（4）＜0．
∴g（x）=0在（0，4）上有一个根x=x₀．
又g（x）在R上为减函数，
∴g（x）=0有且只有一个根x=x₀．
∴当x＞x₀时，有g（x）＜g（x₀）=0．
即f（x）-x＜0，
∴x＞f（x）．①
又∵f（x）=

k?ex

ex+1

=

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