Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=4

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=4，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）在△ABC中，利用正弦定理化简（2a-c）cosB=bcosC，得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，即2sinAcosB=sin（C+B）=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，
∵B∈（0，π），
∴B=

π

3

；
（Ⅱ）根据余弦定理b²=a²+c²-2accosB，即16=a²+c²-ac，
∵a²+c²≥2ac（当且仅当时取“=”号），
∴16=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，即ac≤16，当且仅当a=c时取等号，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤4

3

，
则△ABC面积的最大值为4

3

．