Question

已知：如图，点D是以AB为直径的圆O上任意一点，且不与点A、B重合，点C是弧BD的中点，过C作CE∥AB，交AD或

已知：如图，点D是以AB为直径的圆O上任意一点，且不与点A、B重合，点C是弧BD的中点，过C作CE∥AB，交AD或其延长线于E，连结B交AC于G．（1）求证：AE=CE；（2）若过点C作CM⊥AD交AD的延长线于点M．试说明：MC与⊙O相切；（3）若CE=7，CD=6，求CG的长．

Answer 1

（1）证明：∵点C是弧BD的中点，
∴弧CB=弧CD，
∴∠CAB=∠CAD，
∵CE∥AB，
∴∠ACE=∠CAB，
∴∠ACE=∠CAD，
∴AE=CE；

（2）解：连接OC，如图，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
而∠OAC=∠CAD，
∴∠OCA=∠CAD，
∴OC∥AD，
∵CM⊥AD，
∴CM⊥OC，
∴MC与⊙O相切；

（3）解：∵弧CB=弧CD，
∴CB=CD=6，
∵OC∥AE，CE∥OA，
∴四边形OAEC为平行四边形，
∴OA=CE=7，
∴AB=14，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，BC=6，AB=14，
∴AC=

AB2?BC2

=4

10

，
∵CE∥AB，
∴△GCE∽△GAB，
∴

CG

AG

=

CE

AB

=

7

14

=

1

2

，
∴CG=

1

3

AC=

4 10

3

．