Question

设x＞0，常数a＞e，证明（a+x）a＜aa+x

设x＞0，常数a＞e，证明（a+x）a＜aa+x．

Answer 1

解答：证：设f（x）=（a+x）^a-a^a+x，则f（x）在[0，+∞）连续，在（0，+∞）可导
又f′（x）=a（a+x）^a-1+a^a+xlna，x＞0，a＞e
显然f′（x）＞0
∴f（x）在（0，+∞）单调递增
而f（x）在x=0连续
∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0
∴当x＞0，a＞e时，（a+x）^a＞a^a+x

Answer 2

简单分析一下，答案如图所示

Answer 3

证明：假设(a+x)^a<a^(a+x),则有ln[(a+x)^a]<ln[a^(a+x)],
既：aln[(a+x)^a]<(a+x)lna,
设f(x)=aln(a+x)-(a+x)lna,
那么只需证f(x)<0
f'(x)=a/(a+x)-lna,
因为x>0,a>e,则f'(x)<0恒成立,
且lim(x->0)f(x)=0，所以f(x)<0恒成立，那么假设成立
所以原不等式成立