Question

设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切斜线率为2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）

设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切斜线率为2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）令g（x）=f（x）-2x+2，求g（x）的单调区间．

Answer 1

（Ⅰ）因为函数f（x）=x+ax²+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），所以f（1）=0即1+a=0
即a=-1①，又f（x）在P点处的切斜线率为2，f'（x）=1+2ax+

b

x

，所以f'（1）=2即1+2a+b=2②
将①代入②得b=3，故a=-1，b=3
（Ⅱ）g（x）=f（x）-2x+2=x-x²+3lnx-2x+2=-x²-x+3lnx+2（x＞0）
g'（x）=-2x-1+

3

x

=

?2x2?x+3

x

=

?(x?1)(2x+3)

x

由g'（x）＞0得?

3

2

＜x＜1又x＞0，所以0＜x＜1；由g'（x）＜0得x＞1．
故g（x）的单调增区间是（0，1），单调减区间是（1，+∞）