Question

已知函数f（x），（x∈D），若同时满足以下条件：①f（x）在D上单调递减或单调递增②存在区间[a，b]?D，

已知函数f（x），（x∈D），若同时满足以下条件：①f（x）在D上单调递减或单调递增②存在区间[a，b]?D，使f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]，那么称f（x）（x∈D）为闭函数．（1）求闭函数f（x）=-x3符合条件②的区间[a，b]；（2）判断函数y=2x+lgx是不是闭函数？若是请找出区间[a，b]；若不是请说明理由；（3）若y=k+x+2是闭函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）∵y=-x³在R上单减，所以区间[a，b]满足

a＜b ?a3＝b ?b3＝a

解得a=-1，b=1
（2）∵函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增
假设存在满足条件的区间[a，b]，a＜b，则

2a+lga＝a 2b+lgb＝b

即

lga＝?a lgb＝?b

∴lgx=-x在（0，+∞）有两个不同的实数根，但是结合对数函数的单调性可知，y=lgx与y=-x只有一个交点
故不存在满足条件的区间[a，b]，函数y=2x+lgx是不是闭函数
（3）易知y=k+

x+2

在[-2，+∞）上单调递增．设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组

k+ a+2 ＝a k+ b+2 ＝b

有解，方程x=k+

x+2

至少有两个不同的解
即方程x²-（2k+1）x+k²-2=0有两个都不小于k的不根．
∴

△＞0 f(k)＝k2?k(2k+1)+k2?2≥0 2k+1 2 ＞k

得?

9

4

＜k≤?2，即所求．
另解：（1）易知函数f（x）=-x³是减函数，则有

f(b)＝a f(a)＝b

，解得

a＝?1 b＝1

，
（2）∵函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增
假设存在满足条件的区间[a，b]，a＜b，则

2a+lga＝a 2b+lgb＝b

即

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